Modelli reologici e modelli di iniezioni

In un fluido newtoniano lo sforzo di taglio τ varia proporzionalmente al gradiente della velocità dv/dz; il modello meccanico ad esso corrispondente è un ammortizzatore ed è un modello lineare.

Un fluido che invece è caratterizzato da una relazione non lineare tra τ e dv/dz è denominato fluido non newtoniano: il materiale presenta uno sforzo iniziale t0 che deve essere superato affinchè si manifesti una deformazione continua. Il suo modello reologico corrispondente è quello di un ammortizzatore e di una resistenza d’attrito in parallelo. Le sostanze che seguono questa regola sono chiamate corpi di Bingham, essi non sono fluidi ma piuttosto solidi visco-plastici. Il comportamento reologico di un corpo di Bingham è espresso dalla legge

Lo sforzo iniziale τ 0 è chiamato “rigidità”, “coesione” o “limite fluido”.  Il comportamento di un fluido descritto dall’equazione sovrastante è talvolta detto “plastico ideale”.

Fig. 4.10: Modello e diagramma reologici di un fluido newtoniano

Fig. 4.11: Modello e diagramma reologici di un corpo di Bingham

Le sospensioni la cui rigidità viene persa subito dopo lo scuotimento ma è recuperata non appena sono lasciati indisturbati per un po’ di tempo sono detti tixotropiche. Le proprietà tixotropiche della bentonite contribuiscono a mantenere la stabilità delle iniezioni cementizie.

L’acqua si comporta come un fluido newtoniano mentre le particelle argillose in sospensione rappresentano una sostanza non newtoniana. Una miscela di argilla o di cemento può essere approssimativamente trattata come un corpo di Bingham e l’argilla bentonite è un tipico materiale tixotropico.

 

Per descrivere il processo di iniezione da un foro in un mezzo poroso è possibile adottare due modelli, iniezione da sorgente sferica e da sorgente cilindrica. Si assume che il moto di filtrazione sia laminare, stazionario, ed avvenga entro certi limiti di pressione. Si fanno inoltre le ipotesi di fluido newtoniano non evolutivo (come le soluzioni pure), per il quale vale la legge di Darcy, e di terreno omogeneo, isotropo e saturo.

Nell’applicare tali modelli a fluidi newtoniani evolutivi (soluzioni colloidali) si può calcolare una viscosità media valutata entro il tempo di iniezione. Difficile è l’estensione della legge di Darcy alle sospensioni, anche se stabili, data la loro rigidità evolutiva.

 

Iniezione da sorgente sferica

Si assume che la miscela fluisca nel terreno da una cavità sferica di raggio R0 sotto l’influenza di una pressione netta pe (superiore alla pressione idrostatica locale). Vale quindi la relazione seguente:

dove

Q = portata d’iniezione [m3/s];

γ = peso specifico della miscela [kN/m3];

kG = permeabilità del terreno alla miscela [m/s];

k = permeabilità del terreno all’acqua [m/s];

μ = viscosità della miscela [Pas];

μw = viscosità dell’acqua [Pas].

Il tempo richiesto alla miscela per percorrere una distanza R da una cavità sferica di raggio R0 può essere determinato con la formula

In linea teorica un fluido newtoniano continua a fluire verso l’esterno finché esiste sovrapressione pe o finché esso solidifica o gelifica.

 

Iniezione da sorgente cilindrica

Le equazioni equivalenti al caso precedente ma valide per flusso radiale da sorgente cilindrica (come da una sezione del foro di iniezione) sono:

dove

pe = sovrapressione necessaria al mantenimento della portata Q quando la miscela ha  raggiunto la distanza R dal punto di iniezione;

R0 = raggio del foro di iniezione;

m = spessore dello strato da iniettare;

e l’equazione

La pressione p(R) della miscela diminuisce con la distanza R dal foro secondo l’equazione

Queste equazioni dimostrano che:

  • il tempo richiesto alla miscela per fluire nel terreno ad una data distanza dal foro dipende dalla portata d’iniezione Q;
  • la portata d’iniezione può essere incrementata adottando una maggiore pressione d’iniezione o una miscela a viscosità inferiore (una pressione troppo alta può però provocare la frattura del terreno e/o la screpolatura della superficie);
  • il tempo di indurimento della miscela dev’essere maggiore del tempo richiesto alla miscela per fluire nel terreno;
  • maggiore è il raggio del foro, maggiore è la pressione ad una data distanza.